Das Ersatzteil muß der Vermieter aber bezahlen, auch wenn es ohne Auftrag beschafft wurde und wenn es geeignet war den Schaden zu beheben.
Selbst wenn der VM gar nicht über ein Problem informiert wurde?
Eine defekte Spülmaschine ist kein Notfall, der sofortiges Handeln erforderlich macht.
Ohne Kenntnis eines Mangels muss der VM die Kosten einer Reparatur nicht tragen, außer in Notfällen.
Wenn der Mieter die Reparatur fachgerecht ausgeführt hat, dann kannst Du Dich sogar insgeheim freuen (aber sagen würde ich das dem Mieter nicht unbedingt!), weil Du auf diese Weise ganz kostenlos eine Dienstleistung erhalten hast. Aber nur vielleicht schadet es auch nichts, wenn Du Dir die Reparatur mal ansiehst? Nicht, dass Du als nächstes vom Mieter eine Rechnung über die Beseitigung eines Wasserschadens bekommst, verursacht durch einen defekten Geschirrspüler... sorry, bin heute irgendwie pessimistisch

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Nein, realistisch. Es gibt massenhaft Heimwerker, die ihre Fachkenntnisse und handwerkliches Geschick gnadenlos überschätzen und dadurch Schäden verursachen.
Ich habe keine Lust auf Haftungsfragen wegen nicht fachgerecht ausgeführten DIY-Reparaturen von Mietern.
Diese Frage stellt sich beim TE nicht, da der Mieter mit der Rechnungsstellung auch die Haftung für seine Bastelei nachweislich übernommen hat.
Trotzdem für zukünftige Reparaturen sollte dem Mieter klar gemacht werden, dass der VM entscheidet Wer eine Reparatur ausführt und in welchem Umfang. Eine vermietete EBK bleibt Eigentum des VMs, das der Mieter nutzen darf.